Տեսություն

Ուղղին ուղղահայաց
\(AC\) հատվածը կոչվում է \(A\) կետից \(a\) ուղղին տարված ուղղահայաց, եթե \(AC\) և \(a\) ուղիղները ուղղահայաց են:
Perpendikuls2.png
\(C\) կետը կոչվում է ուղղահայացի հիմք:
Ուղղին չպատկանող կետից կարելի է ուղղին տանել ուղղահայաց, ընդ որում՝ միայն մեկը:
Perpendikuls.png  Perpendikuls1.png
Ապացուցենք, որ \(BC\) ուղղին չպատկանող \(A\) կետից կարելի է տանել ուղղահայաց այդ ուղղին:  
 
Դիցուք, տրված էABC անկյունը:
 
\(BC\) ճառագայթի մյուս կողմից տեղադրենք անկյուն, որը հավասար է տրվածին և վերադրենք երկու անկյունները (պատկերացնենք, թե անկյունները թղթի վրա են, և ծալենք թուղթը \(BC\) կողմի երկայնքով):
 
\(BA\) կողմը կհամընկնի BA1 կողմի հետ: Ընդ որում, \(A\) կետը կհամընկնի որևէ A1 կետի հետ:
 
Հետևաբար, համընկում են ACB ևA1CB անկյունները:
 
Բայց ACB ևA1CB անկյունները կից են, ուրեմն՝ դրանք երկուսն էլ ուղիղ են:
 
AA1 ուղիղը ուղղահայաց է \(BC\) ուղղին, իսկ \(AC\) հատվածը հանդիսանում է ուղղահայաց՝ տարված \(A\) կետից \(BC\) ուղղին: 
 
Եթե ենթադրենք, որ \(A\) կետից կարելի է տանել ևս մեկ ուղղահայաց \(BC\) ուղղին, ապա այն կգտնվի մի ուղղի վրա, որը կհատվի AA1-ի հետ: Բայց, նույն ուղղին ուղղահայաց ուղիղները զուգահեռ են և չեն կարող հատվել: 
 
Այս հակասությունը նշանակում է, որ տրված կետից ուղղին կարելի է տանել միայն մեկ ուղղահայաց:
Եռանկյան միջնագծեր, կիսորդներ և բարձրություններ
Եռանկյան գագաթը հանդիպակաց կողմի միջնակետի հետ միացնող հատվածը կոչվում է եռանկյան միջնագիծ:
Ուստի միջնագծի կառուցման համար պետք է կատարել հետևյալ գործողությունները:

1. Գտնել կողմի միջնակետը:

2. Միացնել այդ միջնակետը հանդիպակաց գագաթի հետ: Հենց դա կլինի եռանկյան միջնագիծը:
Mediana.png
Եռանկյունն ունի երեք կողմ, հետևաբար՝ կարելի է կառուցել երեք միջնագիծ:
Բոլոր միջնագծերը հատվում են նույն կետում:
Mediana1.png
Եռանկյան կիսորդ կոչվում է եռանկյան անկյան կիսորդի վրա գտնվող այն հատվածը, որը միացնում է եռանկյան գագաթը հանդիպակաց կողմի վրա գտնվող կետի հետ:  
Ուստի, կիսորդի կառուցման համար պետք է կատարել հետևյալ գործողություները՝

1. Կառուցել եռանկյան որևէ անկյան կիսորդը (անկյան կիսորդը անկյան գագաթից դուրս եկող ճառագայթ է, որը կիսում է անկյունը):
2. Գտնել անկյան կիսորդի հատման կետը հանդիպակաց կողմի հետ:
3. Միացնել գտնված կետը հանդիպակաց գագաթի հետ: Հենց դա կլինի եռանկյան կիսորդը:
Bisektrise.png
Եռանկյունն ունի երեք անկյուն, հետևաբար՝ կարելի է կառուցել երեք կիսորդ:
Եռանկյան բոլոր կիսորդները հատվում են նույն կետում:
Bisektrise1.png 
Եռանկյան գագաթից հանդիպակաց կողմը պարունակող ուղղին տարված ուղղահայացը կոչվում է եռանկյան բարձրություն:
Ուստի, բարձրության կառուցման համար պետք է կատարել հետևյալ գործողություները՝

1. Տանել եռանկյան կողմը պարունակող ուղիղը (կարևոր է այն դեպքում, եթե բարձրությունն իջեցնում ենք բութանկյուն եռանկյան սուր անկյունից):
2. Տարված ուղղի հանդիպակաց գագաթից իջեցնենք ուղղահայաց այդ ուղղին (ուղղահայացը եռանկյան գագաթից տարված հատված է, որը կազմում է հանդիպակաց կողմի հետ 90°-ի անկյուն): Հենց դա կլինի եռանկյան բարձրությունը:  
Augstums.png
Միջնագծերի և կիսորդների պես եռանկյունն ունի երեք բարձրություն:
Եռանկյան բոլոր բարձրությունները հատվում են նույն կետում:
Augstums1.png
Որոշ եռանկյունների համար բարձրությունների կառուցումը և դրանց հատման կետերի դիրքերը տարբերվում են:
 
Ուղիղ անկյուն ունեցող եռանկյան մեջ ուղիղ անկյուն առաջացնող կողմերը եռանկյան բարձրություններն են, քանի որ դրանք փոխուղղահայաց են: Այս դեպքում բարձրությունների հատման կետը փոխուղղահայաց կողմերի ընդհանուր գագաթն է:
Augstums2.png
Եթե եռանկյունն ունի բութ անկյուն, ապա սուր անկյուններից իջեցված բարձրությունները դուրս են գալիս եռանկյունից՝ դեպի շարունակված կողմերը: Բարձրությունները պարունակող ուղիղներն այս դեպքում հատվում են եռանկյունից դուրս:
Augstums3.png
Ուշադրություն
Եթե եռանկյան նույն գագաթից տանենք միջնագիծը, կիսորդը և բարձրությունը, ապա միջնագիծը դրանցից ամենաերկարն է, իսկ բարձրությունը՝ ամենակարճը:
Visi.png
Հավասարասրուն եռանկյուն
Եռանկյունը կոչվում է հավասարասրուն, եթե նրա երկու կողմերը հավասար են: Հավասարասրուն եռանկյան հավասար կողմերը կոչվում են սրունքներ,իսկ երրորդ կողմը՝ հիմք
Trijst_vs.png
\(AB = BC\)՝ սրունքներ, \(AC\)՝ հիմք
Եթե եռանկյան բոլոր երեք կողմերը հավասար են, ապա եռանկյունը կոչվում է հավասարակողմ:
Հավասարասրուն եռանկյունն ունի որոշ հատկություններ, որոնք այլ եռանկյուններ չունեն:
1. Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին առընթեր անկյունները հավասար են:
 
2. Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված կիսորդը նաև միջնագիծ է և բարձրություն:
 
3. Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված միջնագիծը նաև կիսորդը է և բարձրություն:
 
4. Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված բարձրությունը նաև կիսորդ է և միջնագիծ:
Առաջին և երկրորդ հատկություններն ապացուցված կլինեն, եթե ապացուցենք, որ հիմքին հանդիպակաց անկյան \(BD\) կիսորդով առաջացած երկու եռանկյունները հավասար են:
Vs_trijst_ip.png
Դիտարկենք \(AC\) հիմքով \(ABC\) հավասարասրուն եռանկյունը և ապացուցենք, որ ΔABD=ΔCBD
 
Դիցուք \(BD\)-ն \(ABC\) եռանկյան կիսորդն է: Եռանկյունների հավասարության առաջին հայտանիշից եզրակացնում ենք, որ ΔABD=ΔCBD (\(AB = BC\) ըստ պայմանի, \(BD\)-ն ընդհանուր կողմ է,ABD=CBD, քանի որ \(BD\)-ն կիսորդ է):
 
Հավասար եռանկյունների բոլոր համապատասխան մեծությունները հավասար են:
 
1A=C՝ ապացուցված է, որ հիմքին առընթեր անկյունները հավասար են:
 
2. \(AD = DC\)՝ ապացուցված է, որ կիսորդը նաև միջնագիծ է:
 
3. ADB=CDB՝ որպես կից անկյուններ, որոնց գումարը հավասար է 180°-ի:
 
Ուստի, դրանցից յուրաքանչյուրը հավասար է 90°-ի, ինչը նշանակում է, որ միջնագիծը նաև բարձրություն է:
Vs_trijst_ip1.png
Շատ հեշտ կարելի է ինքնուրույն ապացուցել նաև հավասարասրուն եռանկյունների երրորդ և չորրորդ հատկությունները:
Աղբյուրները
Լ.Ս. Աթանասյան, Վ.Ֆ. Բուտուզով, Ս.Բ. Կադոմցեվ, Է.Գ. Պոզնյակ, Ի.Ի..Յուդինա: Երկրաչափություն 7-րդ դասարան, Երևան, "Զանգակ 97", 2011: