Տեսություն

Պյութագորաս (մ.թ.ա. \(570 – 490\) թ.)՝ հույն մաթեմատիկոս և փիլիսոփա:  

Pitagors.jpg
 
Պյութագորասի կենսագրության փաստերը հայտնի չեն: Նրա կյանքի մասին կարելի է դատել մյուս հույն փիլիսոփաների ստեղծագործությունների հիման վրա: Նրանց վկայությամբ Պյութագորասը շփվում էր իր ժամանակի ճանաչված մտածողների և գիտնականների հետ:  
Հայտնի է, որ Պյութագորասը երկար ժամանակ անցկացրել է Եգիպտոսում՝ ուսումնասիրելով տեղի ավանդույթներն ու հայտնագործությունները:
 
Մաթեմատիկայում Պյութագորասն ունեցավ մեծ հաջողություններ: Երկրաչափության ամենահայտնի թեորեմներից է Պյութագորասի թեորեմը, որի հայտնագործությունն ու ապացույցը վերագրվում է Պյութագորասին:
 
Pitagors1.gif
 
Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգի վրա կառուցված քառակուսու մակերեսը հավասար է նրա էջերի վրա կառուցված քառակուսիների մակերեսների գումարին:  
Մաթեմատիկայի պատմության մեջ գոյություն ունեն պնդումներ այն մասին, որ այդ թեորեմը գիտեին դեռևս Պյութագորասից շատ առաջ: Մասնավորապես, եգիպտացիները գիտեին, որ \(3\), \(4\) և \(5\) կողմերով եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է:  
 
Ներկայումս թեորեմը հնչում է այսպես՝
 
Taisnl2.png
Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգի քառակուսին հավասար է եռանկյան էջերի քառակուսիների գումարին՝  c2=a2+b2
Հայտնի են այս թեորեմի բազմաթիվ ապացույցներ, սակայն ամենաակնառու ապացույցներից մեկը հիմնված է մակերեսների վրա:
 
1. Կառուցենք եռանկյան էջերի a+b գումարին հավասար կողմով քառակուսի: Քառակուսու մակերեսը a+b2 է:
 
Taisnl3.png
 
2. Եթե տանել \(c\) ներքնաձիգները, ապա կառուցված քառակուսու ներսում կառաջանա ևս քառանկյուն:
Քառանկյան բոլոր կողմերը հավասար են \(c\) -ի, իսկ անկյունները՝ ուղիղ են: Իրոք, ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունների գումարը 90° է, հետևաբար քառանկյան անկյունը ևս պիտի լինի 90°, որպեսզի նրանց գումարը հավասար լինի 180° -ի:
 
Այսպիսով, առաջացած քառանկյունը ևս քառակուսի է: Հետևաբար, մեծ քառակուսու մակերեսը բաղկացած է ներսի քառակուսու մակերեսից և չորս հավասար ուղղանկյուն եռանկյունների մակերեսներից:
 
Taisnl4.png
 
3. Մեծ քառակուսու երկու կողմերի վրա տեղերով փոխենք \(a\) և \(b\) հատվածները, դրանից քառակուսու կողմը չի փոխվի:  
Հիմա քառակուսու մակերեսը բաղկացած է (a\) և \(b\) կողմերով երկու քառակուսիներից և երկու ուղղանկյուններից՝
 
Taisnl5.png
 
4. Համեմատելով մեծ քառակուսու մակերեսը երկու նկարներում, եզրակացնում ենք, որ՝
 
4ab2+c2=a2+2ab+b2, որտեղից գալիս ենք պահանջվող հավասարությանը՝
 
c2=a2+b2
 
Ուշադրություն
Այս հավասարությունից կարելի է արտահայտել \(c\) ներքնաձիգը՝ \(a\) և \(b\) էջերի միջոցով՝ 
 
c2=a2+b2c=a2+b2
  
Կարելի է նաև մի էջը արտահայտել ներքնաձիգի և մյուս էջի միջոցով՝
 
a2=c2b2a=c2b2
Տեղի ունի նաև Պյութագորասի թեորեմի հակադարձ թեորեմը, որը կիրառվում է որպես ուղղանկյուն եռանկյան հայտանիշ:
Եթե եռանկյան մի կողմի քառակուսին հավասար է մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարին, ապա այդ եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է:
Օրինակ
Արդյո՞ք \(6\) սմ, \(7\) սմ և \(9\) սմ կողմերով եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է: 
Ընտրում ենք մեծ կողմը և ստուգում Պյութագորասի թեորեմի տեղի ունենալը՝
 
92=62+72;8136+49
 
Հետևաբար, եռանկյունը ուղղանկյուն չէ:
  
Արդյո՞ք \(5\) սմ, \(12\) սմ և \(13\) սմ կողմերով եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է: 
Ընտրում ենք մեծ կողմը և ստուգում Պյութագորասի թեորեմի տեղի ունենալը՝
 
132=122+52;169=144+25
 
 Հետևաբար, եռանկյունը ուղղանկյուն է:
Որպեսզի հաշվարկներ չկատարել, օգտակար է հիշել Պյութագորասի առավել հաճախ պատահող թվերը՝
 
էջ, էջ, ներքնաձիգ
 
\(3;  4;  5 \)
 
\(6;  8;  10\)
 
\(12;   16;  20\)
 
\(5;  12;  13\)   
Դիտիր Պյութագորասի թեորեմի ևս մի յուրահատուկ ապացույց
 
Pitagora_3.gif
Աղբյուրները
http://linguaggio-macchina.blogspot.com
Լ.Ս. Աթանասյան, Վ.Ֆ. Բուտուզով, Ս.Բ. Կադոմցև, Է.Գ. Պոզնյակ, Ի.Ի..Յուդինա: Երկրաչափություն 8-րդ դասարան, Երևան, "Զանգակ 97", 2007: