Տեսություն

Եռանկյունաչափական արտահայտությունների ձևափոխության ժամանակ ամենահաճախ օգտագործվող բանաձևերից են անկյունների գումարի և տարբերության տանգենսի և կոտանգենսի բանաձևերը:
 
Արգումենտների բոլոր թույլատրելի արժեքների համար տեղի ունեն հետևյալ բանաձևերը՝
tg(α+β)=tgα+tgβ1tgαtgβ գումարի տանգենսի բանաձևը,
 
tg(αβ)=tgαtgβ1+tgαtgβ տարբերության տանգենսի բանաձևը:
Թույլատրելի արժեքներն արգումենտի բոլոր այն արժեքներն են, որոնց դեպքում բանաձևերում մասնակցող բոլոր տանգենսներն իմաստ ունեն՝
 
απ2+πk,βπ2+πnk,n և α+βπ2+πm,m գումարի բանաձևի համար,
απ2+πk,βπ2+πnk,n և αβπ2+πm,m տարբերության բանաձևի համար:
 
Այս բանաձևերը շատ կարևոր են: Դրանք կիրառվում են ոչ միայն մաթեմատիկայում, այլ նաև ֆիզիկայում՝ մասնավորապես ռադիոտեխնիկայում:  
 
Այս բանաձևերը ստացվում են տանգենսի սահմանման և անկյունների գումարի ու տարբերության սինուսի և կոսինուսի բանաձևերի օգնությամբ:
 
Ապացուցենք գումարի տանգենսի բանաձևը: Ունենք՝
 
tg(α+β)=sin(α+β)cos(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβsinαsinβ
 
Համարիչի և հայտարարի յուրաքանչյուր գումարելի բաժանենք cosαcosβ արտադրյալի վրա:
 
Դրանից կոտորակի արժեքը չի փոխվի, չեն փոխվի նաև թույլատրելի արժեքները, քանի որ cosαcosβ0, եթե απ2+πk,βπ2+πnk,n
 
Ստանում ենք՝
 
tg(α+β)=sin(α+β)cos(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβsinαsinβ=sinαcosβcosαcosβ+cosαsinβcosαcosβcosαcosβcosαcosβsinαsinβcosαcosβ=tgα+tgβ1tgαtgβ
 
Բանաձևն ապացուցված է:
 
Նույն ձևով ապացուցում ենք տարբերության տանգենսի բանաձևը՝
 
tg(αβ)=sin(αβ)cos(αβ)=sinαcosβcosαsinβcosαcosβ+sinαsinβ=sinαcosβcosαcosβcosαsinβcosαcosβcosαcosβcosαcosβ+sinαsinβcosαcosβ=tgαtgβ1+tgαtgβ
Աղբյուրները
Գ. Գ. Գևորգյան, Ա..Ա. Սահակյան, Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր, 10-րդ դասարան, Տիգրան Մեծ, 2009: