Տեսություն

Կրկնակի անկյան բանաձևերը թույլ են տալիս կրկնակի անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիաներն արտահայտել սովորական (մեկական) արգումենտով եռանկյունաչափական ֆունկցիաների միջոցով:
 
Այդ բանաձևերը կապում են \(sin 2x, cos 2 x, tg 2 x\) և \(sin x, cos x, tg x\) ֆունկցիաները: 
 
Ապացուցենք կրկնակի անկյան բանաձևերը սինուսի և կոսինուսի համար: 
 
1. \(sin 2x\) ֆունկցիայի արգումենտը ներկայացնենք \(2 x=x+x\) տեսքով և կիրառենք գումարի սինուսի բանաձևը՝
 
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
 
Ստանում ենք՝
 
sin2x=sin(x+x)=sinxcosx+cosxsinx=2sinxcosx
 
Այսպիսով, տեղի ունի կրկնակի անկյան սինուսի բանաձևը
 
sin2x=2sinxcosx
 
2. Նույն ձևով \(cos 2x\) ֆունկցիայի արգումենտը ներկայացնենք \(2 x=x+x\) տեսքով և կիրառենք գումարի կոսինուսի բանաձևը՝
 
cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ
 
Ստանում ենք՝
 
cos2x=cos(x+x)=cosxcosxsinxsinx=cos2xsin2x
Այսպիսով, տեղի ունի կրկնակի անկյան սինուսի բանաձևը՝
 
cos2x=cos2xsin2x 
Այստեղից և sin2x+cos2x=1 նույնությունից ստանում ենք հետևյալ բանաձևերը՝
 
cos2x=12sin2x,cos2x=2cos2x1
 
Ուշադրություն
Կրկնակի անկյան սինուսի և կոսինուսի բանաձևերը տեղի ունեն ցանկացած անկյան համար:
Ապացուցված բանաձևերը կարելի է դիտարկել նաև այն դեպքերում, երբ արգումենտում \(x\)-ի փոխարեն մասնակցում է ավելի բարդ տեսքի անկյուն: Օրինակ, տեղի ունեն հետևյալ բանաձևերը՝
 
sin4x=2sin2xcos2x,
 
sinx=2sinx2cosx2,
 
cos48°=cos224°sin224°,
 
cos(2x+6y)=cos2(x+3y)=cos2(x+3y)sin2(x+3y) և այլն:
Աղբյուրները
Գ. Գ. Գևորգյան, Ա..Ա. Սահակյան, Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր, 10-րդ դասարան, Տիգրան Մեծ, 2009: