Տեսություն

Վերադարնանք արդեն դիտարկված հավասարմանը՝ x2+1=0
 
Պարզ է, որ \(i\)-ն և \(-i\)-ն այդ հավասարման լուծումներն են: Սակայն պետք է պարզել՝ կա՞ն արդյոք ուրիշ լուծումներ ևս:
 
Դիտարկենք ավելի ընդհանուր խնդիր. տրված c=r(cosϕ+isinϕ) կոմպլեքս թվի և n թվի համար գտնել zn=c հավասարման բոլոր արմատները:
zn=c հավասարման յուրաքանչյուր լուծում կոչվում է \(n\)-րդ աստիճանի արմատ \(c\) կոմպլեքս թվից:
Դիտարկենք էական դեպքը, դիցուք c0:
 
Անհայտ \(z\) կոմպլեքս թիվը փնտրենք եռանկյունաչափական տեսքով՝ z=xcosα+isinα:
 
Տեղադրելով zn=c հավասարման մեջ, և կիրառելով Մուավրի բանաձևը, ստանում ենք՝
 
xncosnϕ+isinnϕ=rcosϕ+isinϕ
 
Այստեղից հետևում է, որ
 
x=rn  և  nα=ϕ+2πk,k
 
Այստեղից՝
 
α=ϕn+2πnk,k
 
Բացառելով կրկնվող թվերը, ստանում ենք, որ zn=c հավասարումն ունի ճիշտ \(n\) արամատ:
zn=c հավասարումն ունի \(n\) հատ արամատ: Դրանք են՝
 
zk=rncosαk+isinαk, որտեղ αk=ϕn+2πnk,k=0,1,...,n1
Օրինակ
Դիտարկենք \(n = 2\) դեպքը, այսինքն, z2=c հավասարումը
 
Այս հավասարումն ունի երկու արմատ՝
 
z0=ccosargc2+isinargc2k=0z1=ccosargc2+π+isinargc2+πk=1
 
Երկորդ արմատի համար կիրառելով բերման բանաձևերը, ստանում ենք երկու արմատների վերջնական տեսքը՝
 
z0=ccosargc2+isinargc2k=0z1=ccosargc2+isinargc2k=1
 
Նկատենք որ, z1=z0
Աղբյուրները
 
Աղբյուրները
Գ. Գ. Գևորգյան, Ա..Ա. Սահակյան, Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր, 10-րդ դասարան, Տիգրան Մեծ, 2009: