Տեսություն

Հաճախ քառակուսային հավասարումների միջոցով հաջողվում է նկարագրել տարբեր իրավիճակներ:
Օրինակ
Ըստ չվացուցակի \(60\) կմ ճանապարհը գնացքը պիտի անցներ որոշակի ժամանակում: \(5\) րոպե լուսազդանշանի մոտ կանգնելուց հետո, ժամանակին տեղ հասնելու համար, մեքենավարը ավելացրեց գնացքի արագությունը \(10\) կմ/ժ-ով: Ի՞նչ արագությամբ գնացքը պիտի անցներ ճանապարհն ըստ չվացուցակի:
 
Առաջին քայլ: Կազմենք խնդրի հավասարումը: 
 
Դիցուք, գնացքի արագությունը ըստ չվացուցակի \(x\) կմ/ժ է:  
Քանի որ ճանապարհի երկարությունը \(60\) կմ է, ապա ըստ չվացուցակի նախատեսվում էր ճանապարհն անցնել 60x ժամում:
Փաստացի \(60\) կմ -ը գնացքն անցավ \((x + 10)\) կմ/ժ արագությամբ: Հետևաբար, ճանապարհի վրա ծախսվեց 60x+10 ժամ:
 
60x ժամ և 60x+10 ժամ մեծություններից առաջինը \(5\) րոպեով, կամ որ նույնն է՝ 112 ժամով մեծ է երկրորդից:
Այսպիսով, ստանում ենք հետևյալ հավասարումը՝ 60x60x+10=112
 
Երկրորդ քայլ: Լուծենք կազմած հավասարումը՝
 
60x60x+10112=0
 
Պահանջելով, որ հայտարարը զրո չդառնա՝ 12x(x+10)0, հավասարման ձախ մասը բերենք ընդհանուր հայտարարի՝
60(12(x+10)x6012xx+101x(x+10)12=720(x+10)720xx(x+10)12x(x+10)=x210x+720012x(x+10)
 
Հավասարեցնելով համարիչը զրոյի, ստանում ենք քառակուսային հավասարում՝ x210x+7200=0, կամ՝ x2+10x7200=0
 
Գտնենք քառակուսային հավասարման արմատները՝
x1,2=10±1024172002=10±289002=10±1702
 
x1=10+1702=80,x2=101702=90
 
Երկու արմատն էլ բավարարում են 12x(x+10)0 պայմանին:
 
 Երրորդ քայլ: Խնդրի պատասխանը:
 
Պետք է որոշել, թե ի՞նչ արագությամբ գնացքը պիտի անցներ ճանապարհն ըստ չվացուցակի:  
Հենց այս մեծությունը մենք նշանակել ենք \(x\)-ով: Ստացանք, որ \(x=80\) կամ \(x=-90\): Երկրորդ արմատը չի բավարարում, քանի որ գնացքի արագությունը չի կարող բացասական թիվ լինել: Ուրեմն, ընտրում ենք \(x = 80\) արմատը, և հենց սա է խնդրում պահանջվող մեծությունը:
Պատասխան՝ \(80\) կմ/ժ:
Կատարենք որոշ դիտարկումներ խնդրի լուծման վերաբերյալ:
1. Իհարկե, խնդրում նկարագրված իրավիճակը մի փոքր չափազանցված է: Իրական կյանքում գնացքը չի կարող ամբողջ ճանապարհը շարժվել հաստատուն արագությամբ՝ միշտ լինում են արագացումներ և դանդաղումներ: Սակայն, այս չափազանցությանը մաթեմատիկոսները գնում են գիտակցաբար:
 
2. Մենք արդեն նկարագրել ենք տեքստային խնդիրներ լուծելու քայլերը: Հերթական անգամ ուշադրություն դարձրու, որ մենք օգտվեցինք դատողությունների ընդունված ալգորիթմից՝ հավասարման կազմում, աշխատանք կազմած հավասարման հետ և պատասխանի ամփոփում:
 
3. Ընդգծենք, որ առաջին քայլը՝ հավասարում կազմելը խնդրի լուծման առանցքային փուլն է: Այս քայլում կատարվում է կենցաղային պայմանների փոխադրումը մաթեմատիկական լեզվի: Սա լուրջ ստեղծագործ աշխատանք է: 
 
4. Լուրջ աշխատանք է կատարվում նաև երկրորդ քայլում, սակայն սա արդեն ոչ թե ստեղծագործական աշխատանք է, այլ՝ տեխնիկական, քանի որ, այս քայլում գործողությունների հերթականությունը հայտնի է: Այս խնդրում մենք կազմեցինք ռացիոնալ հավասարում, ապա ընդհանուր հայտարարի բերելով, ստացանք քառակուսային հավասարում:  
 
Ուշադրություն
Քառակուսային հավասարումներ կարողանում էին լուծել դեռ հին Բաբելոնում:
Օրինակ
Դիտարկենք հույն մաթեմատիկոս Դիոֆանտի (III խնդիրը):
Գտնել երկու թվեր, որոնց գումարը \(20\) է, իսկ արտադրյալը՝ \(96\):
Եթե անհայտ թվերից մեկը նշանակենք \(y\) -ով, ապա կստանանք՝ y(20y)=96 քառակուսային հավասարումը:
Ընդհանուր տեսքի քառակուսային հավասարում լուծելուց խուսափելու համար Դիոֆանտը անհայտ թվերը նշանակում է 10+x և 10x: Այս թվերի գումարը իրոք \(20\) է՝
10+x+(10x)=20: Արտադրյալը հավասարեցնենք \(96\) -ի և լուծենք ստացված հավասարումը՝
10+x10x=96100x2=96x2=4x=±2
Դիոֆանտի ժամանակներում բացասական թվեր դեռ չգիտեին, այդ պատճառով նա գտավ միայն \(2\) արմատը: Այդ դեպքում անհայտ թվերն են՝ 10+2=12 և 102=8
Աղբյուրները
Ս. Մ. Նիկոլսկի, Մ.Կ. Պոտապով, Ն.Ն. Րեշետնիկով, Ա.Վ. Շեվկին, Հանրահաշիվ, 8-րդ դասարան, Անտարես, 2012: