Բեզուի թեորեմը — դաս։ Հանրահաշիվ, 9-րդ դասարան.

Մենք արդեն ուսումնասիրել ենք

A = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + ... + a_{1} x + a_{0}

բազմանդամը, և նրա

B = b_{m} x^{m} + b_{m - 1} x^{m - 1} + ... + b_{1} x + b_{0}

բազմանդամի վրա բաժանելու հարցը, որտեղ՝

B

-ն ոչ զրոյական բազմանդամ է, որի աստիճանը չի գերազանցում

A

-ի աստիճանը, այսինքն՝

b_{m} \neq 0

m \leq n

Հիշենք սահմանումը:

A

բազմանդամը մնացորդով բաժանել

B

բազմանդամի վրա, նշանակում է գտնել այնպիսի

Q

R

բազմանդամներ, որ տեղի ունենա

A = Q \cdot B + R

հավասարությունը, ընդ որում

R

բազմանդամի աստիճանը փոքր լինի

B

բազմանդամի աստիճանից:

A

բազմանդամի դերում դիտարկենք

P_{n} (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + ... + a_{1} x + a_{0}

բազմանդամը (ներքևի ինդեքսը ցույց է տալիս, որ

P_{n} (x)

-ը

n

-րդ աստիճանի բազմանդամ է), իսկ

B

բազմանդամի դերում՝

x - a

երկանդամը, որտեղ

a

-ն որևէ թիվ է:

Նկատենք, որ

x - a

երկանդամը

1

աստիճանի բազմանդամ է, և հետևաբար, վերևի

m \leq n

պայմանը (հիմա այն ունի

1 \leq n

տեսքը) կատարվում է:

Հետևաբար, կիրառելով մնացորդով բաժանման սահմանումը,

A = Q \cdot B + R

հավասարության դերում ստանում ենք՝

P_{n} (x) = (x - a) \cdot Q (x) + R

հավասարությունը, որտեղ

Q

-ն քանորդն է, իսկ

R

-ը՝ մնացորդը:

Քանի որ մնացորդի աստիճանը պետք է փոքր լինի

x - a

երկանդամի աստիճանից՝

1

-ից, ապա այս դեպքում

R

մնացորդը թիվ է: Գտնենք այդ թիվը:

P_{n} (x) = (x - a) \cdot Q (x) + R

հավասարության ձախ մասը

n

-րդ աստիճանի բազմանդամ է, ուրեմն աջից ևս

n

-րդ աստիճանի բազմանդամ պիտի լինի:

Քանի որ

R

-ը թիվ է, ուրեմն

(x - a) \cdot Q (x)

բազմանդամի աստիճանը պետք է հավասար լինի

n

-ի , այսինքն

Q

-ն պիտի լինի

n - 1

աստիճանի բազմանդամ:

Հիմա

P_{n} (x) = (x - a) \cdot Q (x) + R

հավասարությունը կարելի է արտագրել այսպես՝

P_{n} (x) = (x - a) \cdot Q_{n - 1} (x) + R

Եթե վերջին հավասարության մեջ տեղադրենք

x = a

, ապա կստանանք, որ

{R = P}_{n} (a)

Սա հենց Բեզուի թեորեմի պնդումն է:

Բեզուի թեորեմը:

P_{n} (x)

բազմանդամը

x - a

երկանդամի վրա բաժանելուց ստացված

R

մնացորդը հավասար է

P_{n} (x)

բազմանդամի արժեքին

x = a

կետում՝

{R = P}_{n} (a)

Բեզուի թեորեմից ստացվում են բազմաթիվ հետևանքներ: Դրանցից կարևոր է հետևյալը.

Եթե

a

թիվը

P_{n} (x)

բազմանդամի արմատն է, ապա այդ բազմանդամն անմնացորդ բաժանվում է

x - a

երկանդամի վրա:

Իրոք, եթե

a

թիվը

P_{n} (x)

բազմանդամի արմատն է, այսինքն՝

P_{n} (a) = 0

, ապա, ըստ Բեզուի թեորեմի, մնացորդը՝

R = 0

, ինչը նշանակում է, որ

P_{n} (x)

-ն անմնացորդ բաժանվում է

x - a

-ի վրա:

Աղբյուրները

Ս. Մ. Նիկոլսկի, Մ.Կ. Պոտապով, Ն.Ն. Րեշետնիկով, Ա.Վ. Շևկին, Հանրահաշիվ, 9-րդ դասարան, Անտարես, 2013

Վերադառնալ թեմային

Հաջորդ առաջադրանքը

Գրեք մեզ

Սխա՞լ ես գտել

Տեղեկացրու մեզ

1. Բեզուի թեորեմը

Տեսություն