Տեսություն

Կոմպլեքս թվի z=r(cosϕ+isinϕ) եռանկյունաչափական տեսքն օգտագործելով ստանում ենք կոմպլեքս թվերի բազմապատկման և բաժանման պարզ բանաձևեր:
 
Ստուգենք, որ z1=r1cosϕ1+isinϕ2  և  z2=r2cosϕ2+isinϕ2 կոմպլեքս թվերի արտադրյալը հաշվվում է հետևյալ բանաձևով՝
 
z1z2=r1r2cosϕ1+ϕ2+isinϕ1+ϕ2
 
Իրոք, կիրառելով գումարի կոսինուսի և սինուսի բանաձևերը, ստանում ենք՝
 
z1z2=r1cosϕ1+isinϕ1r2cosϕ2+isinϕ2==r1r2cosϕ1cosϕ2sinϕ1sinϕ2+isinϕ1cosϕ2+isinϕ2cosϕ1==r1r2cosϕ1+ϕ2+isinϕ1+ϕ2
Այսպիսով, երկու կոմպլեքս թվերի արտադրյալի մոդուլը հավասար է արտադրիչների մոդուլների արտադրյալին, իսկ արգումենտը՝ արգումենտների գումարին՝
 
z1z2=r1r2cosϕ1+ϕ2+isinϕ1+ϕ2
Հաջորդաբար կիրառելով այս կանոնը z=r(cosϕ+isinϕ) թվի համար, ստանում ենք՝
 
z2=r2cos2ϕ+isin2ϕ,z3=r3cos3ϕ+isin3ϕ,...
Այսպիսով, կամայական n թվի համար տեղի ունի հետևյալ բանաձևը՝
 
zn=rncosnϕ+isinnϕ
 
Այս բանաձևը կոչվում է Մուավրի բանաձև:
Ինքնուրույն համոզվիր, որ  երկու կոմպլեքս թվերի քանորդի մոդուլը հավասար է բաժանելիի և բաժանարարի մոդուլների հարաբերությանը, իսկ արգումենտը՝ արգումենտների տարբերությանը՝
 
z1z2=r1r2cosϕ1ϕ2+isinϕ1ϕ2
Քանի որ, 1=cos0+isin0, ապա օգտագործելով քանորդի կանոնը, z=r(cosϕ+isinϕ) թվի համար, ստանում ենք՝
 
z1=1z=1rcosϕ+isinϕ=r0cos0+isin0rcosϕ+isinϕ=1rcos0ϕ+isin0ϕ==1rcosϕ+isinϕ
 
Այս բանաձևը համադրելով Մուավրի բանաձևի հետ, սատնում ենք, որ Մուավրի բանաձևը տեղի ունի ցանկացած ամբողջ ցուցիչի համար՝
zn=rncosnϕ+isinnϕ, n
Ակնհայտ է, որ z¯=z  ևargz¯=argz
 
Հետևաբար, եթե z=r=1, ապա ապացուցված 1z=1rcosϕ+isinϕ բանաձևից ստանում ենք՝ z1=cosϕ+isinϕ=cosϕsinϕ=z¯
Այսպիսով, ապացուցեցինք, որ միավոր շրջանագծի վրա գտնվող կոմպլեքս թվի հակադարձ թիվը հավասար է նրա համալուծին  z1=z¯
Աղբյուրները
 
Գ. Գ. Գևորգյան, Ա..Ա. Սահակյան, Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր, 10-րդ դասարան, Տիգրան Մեծ, 2009: