1. Ուղղի և հարթության ուղղահայացությունը

 

Ուղղի և հարթության ուղղահայացությունը նշանակում են այսպես՝ $a\perp \mathrm{\alpha }$:

 
Դիցուք \(a\) ուղիղը ուղղահայց է \(α\) հարթության մեջ ընկած \(b\) և \(c\) ուղիղներին:

 

\(a\) ուղիղը տանենք \(b\) և \(c\) ուղիղների հատման \(A\) կետով և ապացուցենք, որ այն ուղղահայաց է \(α\) հարթության մեջ ընկած ցանկացած ուղղի:

1. Դիցուք \(x\)-ը \(A\) կետով անցնող ցանկացած ուղիղ է \(α\) հարթության մեջ: Ցույց տանք, որ այն ուղղահայաց է \(a\) ուղղին: 

\(α\) հարթության մեջ տանենք \(A\) կետով չանցնող որևէ ուղիղ, որը հատում է \(b\), \(c\) և \(x\) ուղիղները: Հատման կետերը նշանակենք \(B\), \(C\) և \(X\):

 

2. \(a\) ուղղի վրա \(A\) կետից երկու ուղղություններով տեղադրենք \(AM\) և \(AN\) հավասար հատվածները:

 

3. \(MCN\) եռանկյունը հավասարասրուն է, քանի որ ըստ թեորեմի պայմանի \(AC\)-ն նրա բարձրությունն է և ըստ կառուցման նաև նրա միջնագիծն է (\(AM=AN\)):

 

Նույն պատճառով հավասարասրուն է նաև \(MBN\) եռանկյունը:

 

4. Հետևաբար, \(MBC\) և \(NBC\) եռանկյունները հավասար են՝ ըստ երեք կողմերի:

 

5.  \(MBC\) և \(NBC\) եռանկյունների հավասարությունից հետևում է, որ հավասար են \(MBX\) և \(NBX\) անկյունները, և հետևաբար, նաև \(MBX\) և \(NBX\) եռանկյունները ըստ երկու կողմերի և նրանց կազմած անկյան:

 

6. Այդ եռանկյունների \(MX\) և \(NX\) կողմերի հավասարությունից եզրակացնում ենք, որ \(MXN\) եռանկյունը հավասարասրուն է: Ուստի նրա \(XA\) միջնագիծը նաև բարձրություն է:

 

Սա նշանակում է, որ \(x\) և \(a\) ուղիղները ուղղահայաց են: 

 

Այսպիսով, ըստ սահմանման \(a\) ուղիղը ուղղահայաց է \(α\) հարթությանը: