Անկյունների գումարի և տարբերության տանգենսի բանաձևերը

Եռանկյունաչափական արտահայտությունների ձևափոխության ժամանակ ամենահաճախ օգտագործվող բանաձևերից են անկյունների գումարի և տարբերության տանգենսի և կոտանգենսի բանաձևերը:

Արգումենտների բոլոր թույլատրելի արժեքների համար տեղի ունեն հետևյալ բանաձևերը՝

tg (α + β) = \frac{tg α + tg β}{1 - tg α \cdot tg β}

գումարի տանգենսի բանաձևը,

tg (α - β) = \frac{tg α - tg β}{1 + tg α \cdot tg β}

տարբերության տանգենսի բանաձևը:

Թույլատրելի արժեքներն արգումենտի բոլոր այն արժեքներն են, որոնց դեպքում բանաձևերում մասնակցող բոլոր տանգենսներն իմաստ ունեն՝

α \neq \frac{π}{2} + π k, β \neq \frac{π}{2} + π n k, n \in ℤ

α + β \neq \frac{π}{2} + π m, m \in ℤ

գումարի բանաձևի համար,

α \neq \frac{π}{2} + π k, β \neq \frac{π}{2} + π n k, n \in ℤ

α - β \neq \frac{π}{2} + π m, m \in ℤ

տարբերության բանաձևի համար:

Այս բանաձևերը շատ կարևոր են: Դրանք կիրառվում են ոչ միայն մաթեմատիկայում, այլ նաև ֆիզիկայում՝ մասնավորապես ռադիոտեխնիկայում:

Այս բանաձևերը ստացվում են տանգենսի սահմանման և անկյունների գումարի ու տարբերության սինուսի և կոսինուսի բանաձևերի օգնությամբ:

Ապացուցենք գումարի տանգենսի բանաձևը: Ունենք՝

tg (α + β) = \frac{\sin (α + β)}{\cos (α + β)} = \frac{\sin α \cdot \cos β + \cos α \cdot \sin β}{\cos α \cdot \cos β - \sin α \cdot \sin β}

Համարիչի և հայտարարի յուրաքանչյուր գումարելի բաժանենք

\cos α \cdot \cos β

արտադրյալի վրա:

Դրանից կոտորակի արժեքը չի փոխվի, չեն փոխվի նաև թույլատրելի արժեքները, քանի որ

\cos α \cdot \cos β \neq 0

, եթե

α \neq \frac{π}{2} + π k, β \neq \frac{π}{2} + π n k, n \in ℤ

Ստանում ենք՝

tg (α + β) = \frac{\sin (α + β)}{\cos (α + β)} = \frac{\sin α \cdot \cos β + \cos α \cdot \sin β}{\cos α \cdot \cos β - \sin α \cdot \sin β} = \frac{\frac{\sin α \cdot \cos β}{\cos α \cdot \cos β} + \frac{\cos α \cdot \sin β}{\cos α \cdot \cos β}}{\frac{\cos α \cdot \cos β}{\cos α \cdot \cos β} - \frac{\sin α \cdot \sin β}{\cos α \cdot \cos β}} = \frac{tg α + tg β}{1 - tg α \cdot tg β}

Բանաձևն ապացուցված է:

Նույն ձևով ապացուցում ենք տարբերության տանգենսի բանաձևը՝

tg (α - β) = \frac{\sin (α - β)}{\cos (α - β)} = \frac{\sin α \cdot \cos β - \cos α \cdot \sin β}{\cos α \cdot \cos β + \sin α \cdot \sin β} = \frac{\frac{\sin α \cdot \cos β}{\cos α \cdot \cos β} - \frac{\cos α \cdot \sin β}{\cos α \cdot \cos β}}{\frac{\cos α \cdot \cos β}{\cos α \cdot \cos β} + \frac{\sin α \cdot \sin β}{\cos α \cdot \cos β}} = \frac{tg α - tg β}{1 + tg α \cdot tg β}

Աղբյուրները

Գ. Գ. Գևորգյան, Ա..Ա. Սահակյան, Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր, 10-րդ դասարան, Տիգրան Մեծ, 2009:

Վերադառնալ թեմային

Հաջորդ տեսությունը

Գրեք մեզ

Սխա՞լ ես գտել

Տեղեկացրու մեզ

1. Անկյունների գումարի և տարբերության տանգենսի բանաձևերը

Տեսություն