Կես անկյան բանաձևերը — դաս։ Հանրահաշիվ, 10-րդ դասարան.

Հիշենք աստիճանի իջեցման բանաձևը կոսինուսի համար՝

\cos^{2} x = \frac{1 + \cos 2 x}{2}

Այս բանաձևում

x

-ի փոխարեն վերցնելով

\frac{x}{2}

և լուծելով

\cos x

-ի նկատմամբ, ստանում ենք՝

\cos \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}}

Ուշադրություն

Այս բանաձևում աջ մասի նշանը պետք է ընտրել այնպես, որ աջ և ձախ մասերի նշանները համընկնեն:

Նույն ձևով

\sin^{2} x = \frac{1 - \cos 2 x}{2}

բանաձևում վերցնելով

x

-ի փոխարեն

\frac{x}{2}

, ստանում ենք՝

\sin \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}}

Ստացած երկու բանաձևերն իրար վրա բաժանելով, ստանում ենք՝

tg \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}}

tg \frac{x}{2}

-ի համար կարելի է ստանալ բանաձև, որում նշանի ընտրության հարց չի առաջանում:

Իրոք, եթե

\sin \frac{x}{2} \neq 0

, ապա՝

tg \frac{x}{2} = \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} = \frac{2 \sin^{2} \frac{x}{2}}{2 \cos \frac{x}{2} \sin \frac{x}{2}} = \frac{1 - \cos x}{\sin x}

Կիրառեցինք տանգենսի սահմանումը, կրկնակի անկյան սինուսի և աստիճանի իջեցման բանաձևերը:

Նույն ձևով, եթե

\cos \frac{x}{2} \neq 0

, ապա ստանում ենք բանաձևը կոտանգենսի համար:

Այսպիսով,

tg \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{\sin x}

ctg \frac{x}{2} = \frac{\sin x}{1 + \cos x}

Ապացուցված բանաձևերը, երբ

\frac{x}{2}

անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիայի արժեքը արտահայտվում է

x

անկյան ֆունկցիաների արժեքներով, կոչվում են կես անկյան բանաձևեր:

Աղբյուրները

Գ. Գ. Գևորգյան, Ա..Ա. Սահակյան, Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր, 10-րդ դասարան, Տիգրան Մեծ, 2009:

Սխա՞լ ես գտել

1. Կես անկյան բանաձևերը