Ռացիոնալ անհավասարումների լուծման միջակայքերի եղանակը

Մեկ \(x\) փոփոխականով ռացիոնալ անհավասարում անվանում են

\frac{f (x)}{g (x)} > 0

տեսքի անհավասարումը, որտեղ \(f(x)\)-ը և \(g(x)\)-ը \(x\) փոփոխականի նկատմամբ բազմանդամներ են:

Ռացիոնալ անհավասարումները լուծելիս օգտագործում են գծային և քառակուսային անհավասարումների լուծման եղանակները: Մասնավորապես, հաճախ օգտագործվում է միջակայքերի եղանակը:

Օրինակ

Լուծենք

\frac{x^{2} + 3}{2 x^{2} - 7 x - 4} > 0

անհավասարումը:

Լուծում

1. Գտնենք

2 x^{2} - 7 x - 4

քառակուսային եռանդամի արմատները

a x^{2} + bx + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

բանաձևի միջոցով այն վերլուծենք արտադրիչների՝

\begin{array}{l} 2 x^{2} - 7 x - 4 = 0 \\ D = b^{2} - 4 ac = {(- 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 4) = 49 + 32 = 81 \\ x_{1} = \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- (- 7) - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 9}{4} = \frac{- 2}{4} = - \frac{1}{2} = - 0,5 \\ x_{2} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- (- 7) + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4 \\ 2 x^{2} - 7 x - 4 = 2 (x + 0,5) (x - 4) \\ 2 (x + 0,5) (x - 4) = 0 |: 2 \\ (x + 0,5) (x - 4) = 0 \\ x_{1} = - 0,5 x_{2} = 4 \end{array}

2. Անհավասարման երկու մասերը բաժանենք

x^{2} + 3

դրական արտահայտության վրա (անհավասարման «\(>\)» նշանը չի փոխվում):

\begin{array}{l} \frac{x^{2} + 3}{(x + 0,5) (x - 4)} : (x^{2} + 3) > 0 : (x^{2} + 3) \\ \frac{x^{2} + 3}{(x + 0,5) (x - 4)} \cdot \frac{1}{x^{2} + 3} > 0 \\ \frac{(x^{2} + 3) \cdot 1}{(x + 0,5) (x - 4) \cdot (x^{2} + 3)} > 0 \\ \frac{1}{(x + 0,5) (x - 4)} > 0 \end{array}

3. Թվային առանցքի վրա գտնենք քառակուսային եռանդամի արմատները և պարզենք եռանդամի արժեքները առաջացած միջակայքերից յուրաքանչյուրում: Դրա համար բավական է յուրաքանչյուր միջակայքից վերցնել մեկական թիվ և այն տեղադրել եռանդամի մեջ \(x\)-ի փոխարեն: