Անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիա

Անվերջ նվազող կոչվում է այն երկրաչափական պրոգրեսիան, որի հայտարարի մոդուլը փոքր է մեկից՝ \(|q| < 1\)

Օրինակ

Անվերջ նվազող է հետևյալ երկրաչափական պրոգրեսիան՝

1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, ..., \frac{1}{2^{n}}, ...

, քանի որ այս պրոգրեսիայի հայտարարի մոդուլը փոքր է մեկից՝

|q| = \frac{1}{2} < 1

Երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին \(n\) անդամների գումարի

S_{n} = \frac{b_{1} (q^{n} - 1)}{q - 1}

բանաձևը կարելի է արտագրել հետևյալ կերպ՝

S_{n} = \frac{b_{1} (q^{n} - 1)}{q - 1} = \frac{b_{1} (1 - q^{n})}{1 - q} = \frac{b_{1} q^{n}}{1 - q} - \frac{b_{1}}{1 - q}

Եթե գումարելիների թիվը՝ \(n\)-ը անսահմանափակ մեծանա, ապա այս բանաձևի առաջին գումարելին ձգտում է զրոյի և հետևաբար,

S_{n}

-ը ձգտում է

\frac{b_{1}}{1 - q}

թվին:

Հենց այս թիվն անվանում են \(|q| < 1\) հայտարարով

b_{1}

b_{2}

, \(...\),

b_{n}

, \(...\) անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումար և գրում այսպես՝

S = \frac{b_{1}}{1 - q} = b_{1} + b_{2} + ... + b_{n} + ...

որտեղ \(|q| < 1\)

Օրինակ

Հաշվենք

1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27}, ...

անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարը:

Այստեղ

b_{1}

\(=\)1,

q = \frac{1}{3}

Ըստ բանաձևի, ստանում ենք՝

S = \frac{b_{1}}{1 - q} = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2}

\(0,(8)\) անվերջ պարբերական կոտորակը դարձնենք սովորական կոտորակ:

Լուծում

Ակնհայտ է, որ \(0,(8)\) անվերջ պարբերական կոտորակը կարելի է գրել այսպես՝

\(0,(8)=0,888...= 0,8+0,08+0,008\)\(+\)…

Այս հավասարության աջ մասը \(0,8\) առաջին անդամով և \(0,1\) հայտարարով անվերջ նվազող պրոգրեսիայի գումար է: Կիրառելով գումարի բանաձևը, ստանում ենք՝

S = \frac{b_{1}}{1 - q} = \frac{0,8}{1 - 0,1}

Մնում է կատարել թվաբանական գործողությունները՝

\frac{0,8}{1 - 0,1} = \frac{0,8}{0,9} = \frac{8}{9}

Պատասխան՝ \(0,(8)=8/9\)

Աղբյուրները

Ս. Մ. Նիկոլսկի, Մ.Կ. Պոտապով, Ն.Ն. Րեշետնիկով, Ա.Վ. Շևկին, Հանրահաշիվ, 9-րդ դասարան, Անտարես, 2013

Սխա՞լ ես գտել

1. Անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիա