Վերևից և ներքևից սահմանափակ ֆունկցիաներ — դաս։ Հանրահաշիվ, 10-րդ դասարան.

Սահմանափակ ֆունկցիաներ

\(y=f(x)\) ֆունկցիան անվանում են ներքևից սահմանափակ

X \subset D (f)

բազմության վրա, եթե գոյություն ունի այնպիսի \(m\) թիվ, որ ցանկացած

x \in X

արգումենտի համար տեղի ունի

f (x) \geq m

անհավասարությունը:

\(y=f(x)\) ֆունկցիան անվանում են վերևից սահմանափակ

X \subset D (f)

բազմության վրա, եթե գոյություն ունի այնպիսի \(M\) թիվ, որ ցանկացած

x \in X

արգումենտի համար տեղի ունի

f (x) \leq M

անհավասարությունը:

Օրինակ

ա)

f (x) = |x| + 3

ֆունկցիան սահմանափակ է ներքևից

3

-ով ամբողջ թվային առանցքի վրա, քանի որ

f (x) \geq 3

անհավասարությունը տեղի ունի ցանկացած իրական թվի համար:

f (x) = |x| + 3

ֆունկցիան վերևից սահմանափակ չէ:

բ)

f (x) = 2 - |x|

ֆունկցիան սահմանափակ է վերևից

2

-ով ամբողջ թվային առանցքի վրա, քանի որ

f (x) \leq 0

անհավասարությունը տեղի ունի ցանկացած իրական թվի համար:

f (x) = 2 - |x|

ֆունկցիան ներքևից սահմանափակ չէ:

\(y=f(x)\) ֆունկցիան անվանում են սահմանափակ

X \subset D (f)

բազմության վրա, եթե այն սահմանափակ է և՛ ներքևից և՛ վերևից, այսինքն գոյություն ունեն այնպիսի \(m\) և \(M\) թվեր, որ ցանկացած

x \in X

արգումենտի համար տեղի ունի

m \leq f (x) \leq M

կրկնակի անհավասարությունը:

Ապացուցել ֆունկցիայի սահմանափակությունը նշանակում է գտնել \(m\) և \(M\) թվերը:

Օրինակ

ա)

f (x) = \sqrt{1 + x^{2}}

ֆունկցիան սահմանափակ է

x \in [0; 2]

բազմության վրա, քանի որ

1 \leq f (x) \leq \sqrt{5}

անհավասարությունը տեղի ունի ցանկացած

x \in [0; 2]

արգումենտի համար:

բ) Նույն

f (x) = \sqrt{1 + x^{2}}

ֆունկցիան

[0; + \infty)

բազմության վրա ներքևից սահմանափակ է մեկով՝

\sqrt{1 + x^{2}} \geq 1

x \in [0; + \infty)

, սակայն վերևից սահմանափակ չէ, քանի որ այն ընդունում է ցանկացած դրական թվից մեծ արժեքներ:

Բերենք սահմանափակ ֆունկցիայի ևս մեկ սահմանում, որը համարժեք է արդեն տրված սահմանմանը:

\(y=f(x)\) ֆունկցիան անվանում են սահմանափակ

X \subset D (f)

բազմության վրա, եթե գոյություն ունի այնպիսի \(A\) թիվ, որ ցանկացած

x \in X

արգումենտի համար տեղի ունի

|f (x)| \leq A

անհավասարությունը:

Աղբյուրները

Գ. Գ. Գևորգյան, Ա..Ա. Սահակյան, Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր, 10-րդ դասարան, Տիգրան Մեծ, 2009:

Վերադառնալ թեմային

Հաջորդ առաջադրանքը

Գրեք մեզ

Սխա՞լ ես գտել

Տեղեկացրու մեզ

1. Վերևից և ներքևից սահմանափակ ֆունկցիաներ

Տեսություն