Ռացիոնալ արտահայտությունների նույնություններ — դաս։ Հանրահաշիվ, 8-րդ դասարան.

Ռացիոնալ արտահայտությունների նույնություններ

Ապացուցել նույնությունը նշանակում է ապացուցել, որ հավասարության աջ ու ձախ մասերը նույնաբար հավասար են փոփոխականների բոլոր թույլատրելի արժեքների դեպքում:

Նույնությունները կարելի է ապացուցել տարբեր եղանակներով:

1. Կատարել ձախ մասի ձևափոխությունները և բերել այն աջ մասին:
2. Կատարել աջ մասի ձևափոխությունները և բերել այն ձախ մասին:
3. Առանձին ձևափոխել ձախ և աջ մասերը և ստանալ միևնույն արտահայտությունը:
4. Կազմել ձախ և աջ մասերի տարբերությունը և ձևափոխությունների արդյունքում ստանալ զրո:

Ապացույցի եղանակը ընտրում են կոնկրետ նույնությունից կախված:

Օրինակ

Ապացուցենք

\frac{a + b}{2 (a - b)} - \frac{a - b}{2 (a + b)} = \frac{b}{a - b} - \frac{b^{2} - ab}{a^{2} - b^{2}}

նույնությունը:

Լուծում: Այս օրինակում նպատակահարմար է կիրառել երրորդ եղանակը:

Ձևափոխենք ձախ մասը՝

\begin{array}{l} \frac{{a + b}^{(a + b}}{2 (a - b)} - \frac{{a - b}^{(a - b}}{2 (a + b)} = \frac{{(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2}}{2 (a - b) (a + b)} = \frac{(a^{2} + 2 ab + b^{2}) - (a^{2} - 2 ab + b^{2})}{2 (a - b) (a + b)} = \\ = \frac{a^{2} + 2 ab + b^{2} - a^{2} + 2 ab - b^{2}}{2 (a - b) (a + b)} = \frac{4 ab}{2 (a^{2} - b^{2})} = \frac{4 \cdot a \cdot b}{2 \cdot (a^{2} - b^{2})} = \frac{2 ab}{a^{2} - b^{2}} \end{array}

Ձևափոխենք աջ մասը՝

\begin{array}{l} \frac{b}{a - b} - \frac{b^{2} - ab}{a^{2} - b^{2}} = \frac{b^{(a + b}}{a - b} - \frac{b^{2} - ab}{(a - b) (a + b)} = \frac{b (a + b)}{(a - b) (a + b)} - \frac{b^{2} - ab}{(a - b) (a + b)} = \\ = \frac{b (a + b) - (b^{2} - ab)}{(a - b) (a + b)} = \frac{ab + b^{2} - b^{2} + ab}{(a - b) (a + b)} = \frac{2 ab}{a^{2} - b^{2}} \end{array}

Երկու դեպքերում էլ ստացանք նույն արտահայտությունը՝

\frac{2ab}{a^{2} - b^{2}} = \frac{2ab}{a^{2} - b^{2}}

Սա նշանակում է, որ նույնությունը ապացուցված է:

Ապացույցի ընթացքում կիրառեցինք կրճատ բազմապատկման բանաձևերը՝

\begin{array}{l} a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b) \\ {(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2} \\ {(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2} \end{array}

Ուշադրություն

Նույնությունը տեղի ունի միայն թույլատրելի արժեքների համար:

Աղբյուրները

Ս. Մ. Նիկոլսկի, Մ.Կ. Պոտապով, Ն.Ն. Րեշետնիկով, Ա.Վ. Շեվկին, Հանրահաշիվ, 8-րդ դասարան, Անտարես, 2012:

Նախորդ տեսություն

Վերադառնալ թեմային

Հաջորդ առաջադրանքը

Գրեք մեզ

Սխա՞լ ես գտել

Տեղեկացրու մեզ