A sin x+ B cos x տեսքի արտահայտության ձևափոխություն — դաս։ Հանրահաշիվ, 10-րդ դասարան.

Ֆիզիկայում, օրինակ՝ տատանումներ ուսումնասիրելիս, հաճախ հանդիպում են

A \cdot \sin x + B \cdot \cos x

տեսքի արտահայտություններ, և անհրաժեշտություն է առաջանում դրանք արտահայտել մեկ եռանկյունաչափական ֆունկցիայի միջոցով:

Օրինակ՝ դիտարկենք

\sqrt{3} \sin x + \cos x

արտահայտությունը:

Եթե այն արտագրել

2 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x)

տեսքով և հաշվի առնել, որ

\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos \frac{π}{6}, \frac{1}{2} = \sin \frac{π}{6}

, ապա կարելի է նկատել, որ փակագծերի ներսում գրված արտահայտությունը «գումարի սինուս» է՝ \(x\) և

\frac{π}{6}

անկյունների համար:

Հետևաբար,

2 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x) = 2 \cdot (\cos \frac{π}{6} \sin x + \sin \frac{π}{6} \cos x) = 2 \sin (x + \frac{π}{6})

Այսպիսով,

\sqrt{3} \sin x + \cos x = 2 \sin (x + \frac{π}{6})

Հաջողվեց

A \cdot \sin x + B \cdot \cos x

տեսքի արտահայտությունը (

A = \sqrt{3}, B = 1

) բերել

C \cdot \sin (x + t)

տեսքի, և ստացվեց, որ \(C=2\),

t = \frac{π}{6}

Ուշադրություն

Նկատիր, որ

C = \sqrt{A^{2} + B^{2}}

: Իրոք՝

A^{2} + B^{2} = {(\sqrt{3})}^{2} + 1^{2} = 4 = 2^{2} = C^{2}

Պարզվում է, որ այս հանգամանքը պատահական չէ: Այս օրինաչափության վրա է հիմնված

A \cdot \sin x + B \cdot \cos x

տեսքի ցանկացած արտահայտության ձևափոխությունը:

Նշանակենք

C = \sqrt{A^{2} + B^{2}}

և նկատենք, որ

{(\frac{A}{C})}^{2} + {(\frac{B}{C})}^{2} = 1

Իրոք,

{(\frac{A}{C})}^{2} + {(\frac{B}{C})}^{2} = \frac{A^{2}}{C^{2}} + \frac{B^{2}}{C^{2}} = \frac{A^{2} + B^{2}}{C^{2}} = \frac{C^{2}}{C^{2}} = 1

Սա նշանակում է, որ

\frac{A}{C}

\frac{B}{C}

թվերը բավարարում են

x^{2} + y^{2} = 1

հավասարմանը, այսինքն,

(\frac{A}{C}; \frac{B}{C})

կետն ընկած է միավոր շրջանագծի վրա: Հետևաբար,

\frac{A}{C}

թիվը որևէ \(t\) անկյան կոսինուսն է, իսկ

\frac{B}{C}

թիվը՝ սինուսը՝

\frac{A}{C} = \cos t, \frac{B}{C} = \sin t

Հաշվի առնելով ասվածը, ձևափոխենք

A \cdot \sin x + B \cdot \cos x

արտահայտությունը՝

A \cdot \sin x + B \cdot \cos x = C \cdot (\frac{A}{C} \sin x + \frac{B}{C} \cos x) = C (\cos t \cdot \sin x + \sin t \cdot \cos x) = C \cdot \sin (x + t)

Այսպիսով,

A \cdot \sin x + B \cdot \cos x = C \cdot \sin (x + t)

, որտեղ

C = \sqrt{A^{2} + B^{2}}

\(t\) անկյունը անվանում են օժանդակ անկյուն:

Աղբյուրները

Գ. Գ. Գևորգյան, Ա..Ա. Սահակյան, Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր, 10-րդ դասարան, Տիգրան Մեծ, 2009:

Սխա՞լ ես գտել

2. A sin x+ B cos x տեսքի արտահայտության ձևափոխություն